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数学を鍛えよう

三角関数　方程式の表す意味

次のツイートを見てほしい。

この方程式が意味することは何だろうか？

この方程式を解けと言われたら、まずは計算しやすい値を代入していくだろう。今回は、\thetaの範囲も狭く、簡単に解 \theta=90°が見つかる。

では、なぜ解が90°になるのか？なぜ範囲が60°＜\theta＜120°なのか？この方程式の表す意味を考えよう。

 

おそらく、これから記述することは、「そんなの気づくわけない」というようなひねくれた内容に思うかもしれないが、方程式に対するこのようなアプローチができることを知り、この問題の背景を味わってほしい。

 

まずは、60°＜\theta＜120°という範囲について考えよう。この範囲をとるような\thetaはどのような図形が考えられるだろうか？分かりやすい例としては、正三角形ABCにおいて、AB上に点Pをとった時の、∠APCを\thetaと考えることができる。

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【正三角形ABCのAB上に∠APC=\thetaとなる点Pを取った図】

 

このように、範囲を見ることで、具体的な図形で\thetaを表現できた。

 

次は、式そのものを見ていこう。

式を見ると、\sin(120°-\theta)と\sin\thetaがあるから、これらをうまく作り出す方法を考える。分かりやすくするために、正三角形の1辺の長さを1として考える。

ここで、△ABCにおいて、∠APC=\theta,∠ACP=120°-\thetaだから、正弦定理より、

\frac{1}{\sin\theta}=\frac{AP}{\sin(120°-\theta)}

AP=\frac{\sin(120°-\theta)}{\sin\theta} 

さらに、与えられた方程式を変形すると、

\frac{\sin^2(120°-\theta)}{\sin^2\theta}=\frac{1}{4}

\frac{\sin(120°-\theta)}{\sin\theta}=\frac{1}{2}

つまり、APの長さが\frac{1}{2}、すなわち、点PがABの中点にあるとき、の∠APCが求める解であることがわかる。このとき、当然、∠APC=90°である。

 

どうだろうか？範囲や式に注目することで、複雑な方程式を図形的に解くことができた。少し無理やりかもしれないが、このような解き方もあるということを知ってほしい。

 

【研究課題】

この記事では、平面図形で考えたが、立体図形で考えるとどうなるだろうか？？

ヒント：体積比を考えることで、方程式の2乗を外さずに解くことができる。