超越数とはなにか - math math muscle！

少し難しい話題になるが、まずは問題から。直感で答えてみよう。

次のうち、整数を係数とする代数方程式の解になりうるものをすべて選びなさい。

$2.333333‥$ （ $2.\dot{3}$ ）
$\pi$
$sin 15°$
$2^\sqrt{2}$
$3+\sqrt{2}i$

注:整数を係数とする代数方程式とは、定数項を含めたすべての項の係数が整数の、1次以上の方程式である。

例えば、 $x^4+3x^2+20=0$ は、整数を係数とする代数方程式であるが、 $\sqrt{2}x^7+ix^3+2x=0$ は、整数を係数とする代数方程式ではない。

では、まずは解答から。

答えは、1,3,5である。このように整数を係数とする代数方程式の解になる複素数のことを、代数的数という。では、1～5について1つずつ見ていこう。

1. $2.333333‥$ （ $2.\dot{3}$ ）

見ての通り、循環小数である。このように無限に循環する小数は、すべて有理数であり、分数で表記することができる。分数⇔循環小数の式変形は高校数学の整数の性質でも扱われているので、やり方が分からない場合は確認しておこう。よって、この循環小数も分母、分子がともに整数の分数となるから、整数係数の1次方程式の解になる。

5. $3+\sqrt{2}i$

一般的な虚数の形をしている。これは、整数係数の2次方程式の解となる。これを解に持つ2次方程式を、高校の知識だけで求めることができる。これは、前回の記事の最後の問題でもあるが、まだ解いていない人はぜひ解いてほしい。ヒントは、整数係数の2次方程式が虚数解を持つならば、それと共役な複素数も解に持つということである。解答はこの記事の最後に掲載する。

2. $\pi$

$\pi$ は整数係数のどんな代数方程式の解にもならないことが知られている。証明は非常に複雑であるため、省略する。 $\pi$ のように、整数係数の代数方程式の解とならないような複素数を超越数という。この超越数について、この後は話を進めていく。

3. $sin 15°$

$sin 15°$ は整数係数の代数方程式の解となるため、超越数ではない。しかし、超越数について以下のことが知られている。

「0でない代数的数 $\theta$ に対して、 $sin\theta$ , $cos\theta$ , $tan\theta$ は超越数である。」

これはリンデマンの定理から導かれる。なら、15は0でない代数的数だから $sin 15°$ は超越数だ！と考えた人もいるだろう。しかし、リンデマンの定理は度数法ではなく、弧度法であることに注意したい。

$sin 15°$ ＝ $sin \frac{\pi}{12}$ で、 $\frac{\pi}{12}$ は代数的数ではないので、 $sin 1°$ は超越数とはいえないのである。

4. $2^\sqrt{2}$

これも、超越数として有名なひとつである。そもそも $\sqrt{2}$ 乗とは何だろうか。高校数学では、指数が無理数となる場合は扱わないが、簡単に説明しておく。有理数の指数については高校でも扱い、定義しやすいのでそれを利用していく。 $2^\sqrt{2}$ を考えるときに、 $2^{1}$ , $2^{1.4}$ , $2^{1.41}$ , $2^{1.414}$ , $2^{1.4142}$ ‥と考えると、このそれぞれの指数は有理数であるから計算ができる。そして、これを繰り返すとある値に近づくはずである。その値を $2^\sqrt{2}$ として定義している。これも超越数になることの証明は複雑であるため省略する。